Аналитические и численные методы математического моделирования при исследовании внутренних задач свободной конвекции в кондуктивно-ламинарном режиме

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
МОДЕЛИРОВАНИЯ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ
1.1. Математическое описание свободной конвекции
1.2. Запись основных уравнений в переменных функция тока -
вихрь
1.3. Типы постановок граничных условий на смоченной и
свободной поверхностях
1.4. Подходы к решению задач свободной конвекции
1.4.1. Точные и приближенные аналитические методы
1.4.2. Численное интегрирование
1.5. Реализация вычислений
1.6. Выводы, цель и задачи исследования
2. ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ СТОКСА.
2.1. Формулировка задачи и вывод основных уравнений
2.2. Решение задачи методом конечного интегрального синус-
преобразования Фурье
2.3. Анализ решения
2.4. Решение задачи в прямоугольнике
2.5. Стационарная постановка
2.6. Выводы
3. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕОДНОРОДНОГО
БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В СТАЦИОНАРНОЙ И НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПОСТАНОВКАХ
3.1. Стационарная постановка
3.1.1. Постановка задачи и построение численной схемы
3.1.2. Вычисление нормы оператора перехода и 66 оптимального итерационного шага
3.1.3. Вычисление погрешности аппроксимации уравнения 72 разностной схемой

3.1.4. Устойчивость и сходимость
3.2. Нестационарная постановка.
3.2.1. Постановка задачи и построение численной схемы
3.2.2. Вычисление нормы оператора перехода и 79 оптимального временного шага
3.2.3. Вычисление погрешности аппроксимации уравнения 83 разностной схемой
3.2.4. Устойчивость и сходимость
3.3. Улучшение решения на границе
3.4. Решение задачи в прямоугольнике
3.5. Выводы
4. Сравнение аналитического и численного подходов.
4.1. Стационарная постановка
4.2. Нестационарная постановка
4.3. Выводы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность. Исследование явлений переноса в технических системах предметного назначения, таких как охладительные контуры тепловыделяющих элементов в атомной энергетике, резервуары хранения сжиженных газов в криогенной технике, продукционные реакторы химического и пищевого производства при термической обработке жидких субстанций напрямую связанно с моделированием свободной конвекции как одного из основных механизмов переноса тепла и массы. Наибольший интерес в этой связи представляет моделирование кондуктивно-ламинарного режима свободной конвекции во внутренних задачах, так как чувствительность современной контрольно-измерительной аппаратуры не позволяет с достаточной степенью точности определять гидротермические характеристики процесса. Таким образом, вычислительный эксперимент является основным источником выявления закономерностей. Существует два подхода к решению данной проблемы. При первом из них используется полная система уравнений Обербека-Буссинеска при малых числах Грасгофа, но в силу остающейся нелинейности уравнений, анализ такой модели затруднен. Во втором, уравнения линеаризуются за счет пренебрежения конвективными слагаемыми, что отвечает физическому смыслу для очень медленных течений. Преимущества такого подхода в линейности получаемых уравнений, что позволяет применять классический математический аппарат для их решения. В рамках этих представлений математическая формализация внутренних задач кондуктивного режима свободной конвекции приводит к краевым задачам для уравнений/ в частных производных четвертого порядка относительно функции тока, которые по постановкам аналогичны задачам теории пластин и оболочек. К настоящему времени данный подход уже позволил получить ряд точных решений задач о свободной конвекции у бесконечной вертикальной стенки, в плоском
(г- шаг по времени). Высокий порядок аппроксимации в сочетании с безусловной устойчивостью позволяет получать хорошие результаты. К сожалению, при многокомпонентном разбиении оператора А, метод переменных направлений оказывается непригодным. Возникают проблемы, связанные с его устойчивостью. Кроме того для ортогональных криволинейных систем координат не всегда выполняются условия коммутируемости и эрмитовости операторов уравнений, с дополнительным требованием положительной определенности. Этим и объясняется отсутствие в литературе конкретных реализаций для, например, постановок задач в сферической и цилиндрической системе координат. Возможность применения методов многокомпонентного расщепления в некоммутируемом случае рассмотрена в [69].
В дальнейшем появились принципиально новые классы методов, к которым относятся различные варианты схемы расщепления или дробных шагов [70]. Фундаментальное свойство разностных схем, а именно, свойство аппроксимации на решение исходного уравнения здесь нарушается. Возникает необходимость отойти от классического понятия аппроксимации и заменить его более слабым понятием суммарной аппроксимации. Это привело к появлению аддитивных разностных схем. Такие методы имеют более широкие возможности для построения устойчивых вычислительных алгоритмов, которые практически ориентированы на простую (расщепленную) модель. Погрешность аппроксимации общего алгоритма