Алгоритмы метода Монте-Карло для решения уравнений эллиптического типа

  • Автор:
  • Специальность ВАК РФ: 01.00.00
  • Научная степень: Кандидатская
  • Год защиты: 1973
  • Место защиты: Новосибирск
  • Количество страниц: 91 с.
  • Стоимость: 250 руб.
Титульный лист Алгоритмы метода Монте-Карло для решения уравнений эллиптического типа
Оглавление Алгоритмы метода Монте-Карло для решения уравнений эллиптического типа
Содержание Алгоритмы метода Монте-Карло для решения уравнений эллиптического типа
Глава 1. Построение и обоснование алгоритма "блужданий по сферам" для решения первой краевой задачи для уравнения Гельмгольца
1.1. Введение и основные обозначения
1.2. Использование "шаровой" функции Грина для построения алгоритма
1.3. Оценка эффективности алгоритма "блужданий по сферам" для задач с разным числом измерений . . Н
1.4. Оценка производных от решения методом Монте-Карло
1.5. Моделирование некоторых случайных величин
1.6. Использование вероятностного представления решения первой краевой задачи для уравнения ЛЯ - с и* - - ^ при построении алгоритма метода Монте-Карло
Глава 2. Решение методических и прикладных задач теории потенциала методом Монте-Карло
2.1. Универсальная схема расчета расстояния от произвольной точки до границы области
2.2. Решение методических задач
2.3. Расчет потенциала и траекторий движения электронов в электромагнитной поле электро-разрядного насоса с многоячеистым анодом
2. 4. Решение методом Монте-Карло двумерной задачи о пробое электроизолятора
ПРИЛОЖЕНИЕ О комбинировании разностных алгоритмов с методом Монте-Карло
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Настоящая диссертация посвящена вопросам построения, обоснования и применения алгоритмов метода Монте--Карло для решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Эта тема была предложена автору настоящей диссертации в 1966 году Г. А. Михайловым.
Связь между дифференциальными уравнениями и случайными процессами была известна уже давно; аппарат дифференциальных уравнений использовался для ревенния вероятностных задач. Так, например, А. Н. Колмогоровым было показано, что фундаментальное решение уравнения
где - эллиптический дифференциальный оператор, является переходной плотностью некоторого марковского вероятностного процесса. Н. Винером [I] в 1923 году был построен вероятностный процесс, отвечающий оператору /д = -дг А (Л - оператор Лапласа). Этот процесс в дальнейшем получил название винеровского процесса.
Возможность использования связи дифференциальных уравнений со случайными процессами для решения краевых задач изучалась многими авторами. Здесь в первую очередь следует отметить работы Р*. Куранта, К. Фридрихса, Леви,
И. Г. Петровского, А. Я. Хинчнна, Д. Дуба, Е, Б. Днмкина, С. Какутани, А. Д. Венцеля. В работах I. Филипса и
Н. Винера [2] и Р. Куранта, К. Фридрихса и Леви [з]
Таким образом, с точностью до постоянного множителя ( порядка 20 ) среднее число операций, необходимое для выбора значения ^ здесь можно оценивать величиной
Отсюда, вышеупомянутый алгоритм эффективен только для достаточно малых СО сС , так как при С0с1 — .
Для больших Л'01 справедливо неравество:
* 1 х
и моделирование целесообразно проводить с помощью одной из модификаций метода Нейманна [ 31 ] :
I). "выбирается значение 1^0 случайной величины с плотностью X. £-х^(-0,'Х ), О к X ^ с1 Г32] , и значение <£•(
то У^с принимается за значение случайной величины распределенной с плотностью (1.38), иначе снова выполняется I), и т. д.
Среднее число проб здесь равно І - хСІ/Чк (а.сІ)
I-о. е'^сЫ-Й
І. при ХСІ , т. е. при больших СС сС данный алгоритм достаточно эффективен.
Если в исходном дифференциальном уравнении положить С - О , то мы получим задачу Дирихле для уравнения Пассона. В этом случае

Рекомендуемые диссертации данного раздела