Изогеометрическая интерполяция нелокальными кубическими сплайнами и их обобщениями

  • автор:
  • специальность ВАК РФ: 01.01.07
  • научная степень: Кандидатская
  • год, место защиты: 2014, Новосибирск
  • количество страниц: 113 с. : ил.
  • бесплатно скачать автореферат
  • стоимость: 240,00 руб.
  • нашли дешевле: сделаем скидку
  • формат: PDF + TXT (текстовый слой)
pdftxt

действует скидка от количества
2 диссертации по 223 руб.
3, 4 диссертации по 216 руб.
5, 6 диссертаций по 204 руб.
7 и более диссертаций по 192 руб.
Титульный лист Изогеометрическая интерполяция нелокальными кубическими сплайнами и их обобщениями
Оглавление Изогеометрическая интерполяция нелокальными кубическими сплайнами и их обобщениями
Содержание Изогеометрическая интерполяция нелокальными кубическими сплайнами и их обобщениями
Вы всегда можете написать нам и мы предоставим оригиналы страниц диссертации для ознакомления
Глава 1. Трёхдиагональные системы с нестрого якобиевой матрицей
1.1. Вводные замечания
1.2. Задача о наследовании решением системы линейных уравнений знаковой схемы правой части
1.3. Условия неотрицательности решения системы с нестрого якобиевой матрицей и диагональным преобладанием по строкам или
по столбцам
Глава 2. Условия изогеометрической интерполяции классическими кубическими сплайнами класса С2
2.1. Комонотонность и ковыпуклость при сплайн-интерполяции
2.2. Представления сплайнов, приводящие к системам с диагональным преобладанием по столбцам
2.3. Условия комонотонной интерполяции кубическими сплайнами .
Глава 3. Изогеометрическая интерполяция обобщёнными кубическими сплайнами класса С2
3.1. Обобщенные нелокальные кубические сплайны
3.2. Оптимальность параметров при выпуклой интерполяции
3.3. Численная реализация алгоритма выбора управляющих параметров сплайна
Заключение
Литература

К геометрическим характеристикам функции обычно относят свойства её графика, которые принято называть ^-монотонностью. Для гладкой функции /(ж) под ^-монотонностью мы понимаем знакопостоянство к-ой производной /^(ж). В принципе, понятие ^-монотонности можно и не связывать с гладкостью функции, но мы на этом останавливаться не будем. При невысоких значениях к для /е-монотонности есть специальные названия: к = 0 — знакопостоянство, к = 1 — монотонность, к = 2 — выпуклость (вниз или вверх). Иногда /г-монотонность, аналогично, называют /с-выпуклостью. Для функций, не обладающих свойством /с-монотон-ности, интерес представляет возможность разбиения области задания на промежутки ^-монотонности, что характеризует свойство кусочной к-монотонности функции. Смена знака производной порядка к характеризует изменение направления /с-монотонности функции.
Геометрические свойства функции /, заданной на отрезке [а, Ь] дискретно своими значениями /г = /(жг) в некоторых точках жг, образующих сетку
Д : а = хо < жх < ... < хп — Ь,
в отсутствие иной информации характеризуются знаками разделённых раз-(к)
ностей ог порядка к, которые для всех возможных г определяются рекур-рентно:
= /„ {<*> = (^7') - в{,к-ц)/(хм - х,).
Такая характеристика обусловлена тем, что для достаточно гладкой функции существует £гк е хг,хг+к, такое что к 5{гк) = /(А:) (&*;)•
Дискретные данные {/Д с неотрицательными разделёнными разностями порядка к также будем называть ^-монотонными. Очевидно, что если функция / является /с-монотонной, то £>монотонным является и набор её сеточных значений /г = /(жг), т.е. > 0 для всех возможных г.

Произвольные сеточные данные, не являющиеся ^-монотонными, характеризуются участками ^-монотонности, в этом смысле будем говорить о кусочно ^-монотонных данных. Изменение знака разделённых разностей порядка к на границе участков /с-монотонности <^<5^ < 0 будем называть изменением направления /с-монотонности данных.
Аппроксимацию, согласованную с кусочной /с-монотонностью данных, представляющих заданную на сетке функцию, называют сохраняющей кусочную /с-монотонность или /с-комонотонной.
Данная работа посвящена вопросам интерполяции данных с учетом их ^-монотонности и кусочной /с-монотонности для к = 1,2, т.е. комо-нотонной (к — 1) и ковыпуклой (/с = 2) интерполяции сплайнами. В этих случаях первую и вторую разделённые разности принято обозначать /хг,Хг+] = и /[х{-1,Хг,Хг+1] = <5^, в последнем случае для краткости будем использовать обозначение ф = /[а^-цЖцХг+х].
В настоящее время основным аппаратом интерполяции в практических задачах, особенно при большом числе точек, являются полиномиальные сплайны.
Хотя кусочно гладкие функции используются с незапамятных времён, впервые полиномиальные сплайны, как объект исследования, появились в работе И. Шёнберга [88]. С развитием вычислительных средств теория сплайнов стала развиваться стремительно. Простота, алгоритмичность и открытость для внедрения в сплайновую конструкцию самых разных математических объектов в сочетании с изобилием представлений сплайнов, превратили их в универсальный аппарат решения задач вычислительной математики и теории приближений.
Первая монография по сплайнам Дж. Алберга, Э. Нильсона, и Дж. Уолша, появившаяся в 1967 году на английском языке и переведенная в 1972 году Ю. Н. Субботиным под редакцией С. Б. Стечкина [1] послужила толчком к русскоязычному изложению развивающейся теории. И уже в 1976 году

решение системы с такой матрицей неотрицательно. Конечно, решение может оказаться неотрицательным (для некоторой конкретной правой части) и в том случае, когда матрица системы не принадлежит указанному классу. Поэтому естественно и возникает вопрос об описании дополнительных ограничений на правую часть, обеспечивающих неотрицательность решения системы с матрицами из других классов.
Впервые инструментарий для решения задачи в такой постановке для трехдиагональных систем уравнений разработал В.Л. Мирошниченко [76], что позволило ему описать ограничения на правую часть, гарантирующие неотрицательность решения. Это было сделано им для класса трёхдиагональных матриц с неотрицательными элементами и диагональным преобладанием по строкам.
Теорема 1.1 ([76]). Пусть элементы матрицы А и вектора правой части б, системы (1.5) неотрицательны, и матрица А имеет строгое диагональным преобладанием по строкам
а0 - Ь0 > 0, а, - Сг — 6, > 0, г = 1,..., п — 1, ап - сп > 0.
Тогда решение г будет неотрицательным, если выполнены неравенства
б0 — — бг > 0,

д-г бг- бг+1 >0, г = 1, . . ,п - 1,
Яг—1 &г+
бп — бп-1 > 0.

Результат был получен на языке элементарных преобразований системы, приводящих её к пятидиагональной.
К каждому г-му уравнению добавляется линейная комбинация двух соседних уравнений для г = 1,...,п — 1 либо одного соседнего для первого и последнего уравнений так, что из него исключаются неизвестные с индексами г — 1 и г + 1, а для первого и последнего с индексами 1 и
Вы всегда можете написать нам и мы предоставим оригиналы страниц диссертации для ознакомления

Рекомендуемые диссертации данного раздела