Алгебраические свойства интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли

  • Автор:
  • Специальность ВАК РФ: 01.01.02
  • Научная степень: Кандидатская
  • Год защиты: 1984
  • Место защиты: Москва
  • Количество страниц: 71 c. : ил
  • Стоимость: 300 руб.
Титульный лист Алгебраические свойства интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли
Оглавление Алгебраические свойства интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли
Содержание Алгебраические свойства интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли
ГЛАВА I
§1. Редукция симплектических многообразий с симметриями.
Интегрируемость гамильтоновых систем
§2. / »инварианты
§3. Сходные функции
§4. Примеры интегрируемых гамильтоновых систем. Задача о
движении многомерного твердого тела с потенциалом
§5. Теоремы о полной интегрируемости некоторых систем с
некоммутативными алгебрами первых интегралов
ГЛАВА II
§1. Инварианты алгебр Ли вида /#•
§2. Сингулярные орбиты алгебры Ли -40Сп)0- & ?
§3. Дополнительные замечания относительно движения И--мерного твердого тела с группой симметрий £о(£)®£о(п'Ь')
§4. Технические подробности
ЛИТЕРАТУРА
І. В последние годы значительное внимание привлечено к задаче интегрирования гамильтоновых систем на симплектических многообразиях, в частности,' на орбитах коприсоединенного представления алгебр Ли. Интерес к исследованию гамильтоновых систем объясняется рядом глубоких результатов математической физики (см. книгу [2^] там же приведен список литературы), связанных с интегрированием уравнения Кортевега - де Фриза (КдФ).
В 1971 г. В.Е.Захаров и Л.Д.Фадцеев показали ( [25] ), что уравнения КдФ с быстроубывающим потенциалом представляют собой вполне интегрируемую гамильтонову систему, а в 1974 г. С.П.Новиков и Б.А.Дубровин разработали метод интегрирования КдФ с периодическим потенциалом в 0 -функциях ([Ч0]Дг1]-[гз]); при этом установлена связь со случаем быстроубыващего потенциала. Эти результаты стали основополагающими для большого числа работ (см. обзоры 1293, [30],[3?], 149] ). В частности возникло направление, решающее задачу построения вполне интегрируемых гамильтоновых систем на алгебрах Ли.
Системы, интегрируемые по Лиувиллю, исследовались в работах
А.С.Мищенко, А.Т.Фоменко, В.В.Трофимова (t3Lt3,[35],[li93,[5ö], [52] ) и ряда других авторов.
Системы на алгебрах Ли, интегрируемые в Q -функциях исследовали М.Адлер и П.ван Мёрбеке ( 11)-БЗЗ ), 0.И.Богоявленский ( [юЗДії]), а также А.Г.Рейман и М.А.Семенов-Тянь-Шанский (t^5l~ №]).
Методы интегрирования в теории гамильтоновых систем сочетаются с результатами, доказывающими отсутствие первых интегралов
для ряда классических систем. Первые результаты такого типа получены еще А.Пуанкаре. Недавним серьезным продвижением стало доказательство В.В.Козловым ([2.?],[2£] ) отсутствия аналитических первых интегралов в задаче о движении твердого тела в поле силы тяжести при некоторых ограничениях на тело.
Подводя итог, можно сказать, что теория гамильтоновых систем сейчас обладает целым рядом сильных методов, позволяющих получать новые результаты для классических задач, а также решать задачи, необходимость исследования которых появилась уже в настоящее время.
2. Одной из классических задач гамильтоновой механики, к которой была применена техника интегрирования уравнения ЦцФ, является задача о движении твердого тела (вообще говоря многомерного).
В 1969 г. В.Й.Арнольд показал ( [41 ) гамильтоновость уравнений Эйлера, затем серию первых интегралов обнаружил А.С.Мищенко ( [35] ), а Л.А.Дикий показал ( 120)) их инволютивность.
Полную интегрируемость в б -функциях задачи о движении п. -мерного твердого тела доказал С.В.Манаков ([31]), записав уравнения Эйлера в виде I-А -пары с параметром и воспользовавшись леммой Б. А.Дубровина (1251). Наличие 1_>/ч -пары с параметром позволило также получить целую серию первых интегралов. Этот факт был использован А.С.Мищенко и А.Т.Фоменко (1351 ) для построения вполне интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем на полупростых алгебрах Ли (метод сдвига инвариантов). В частности, была доказана полная интегрируемость аналогов уравнений движения многомерного твердого тела на всех полупростых алгебрах Ли. Дальнейшее развитие метода сдвига инвариантов имеется в работах М.Адлера, П.ван Мёрбе-ке (Г11 ), А.Г.Реймана (ПМЗ), В.В.Трофимова ([513 ), Дао
вариантами, оказываются в то же время функциями вида Ж * 7 (при фиксированном X ). В самом деле, это так, поскольку функции ЗрСК V) линейны на ^ * и равны нулю на ( Агъп. Х)-1*.
Количество функционально независимых на Ап-пХ функций равно с11пг Агыг X = = Ьпс1 Ап.п.Х
I 2,1^
То, что функции ) образуют полный набор инвариантов при действии ортогональной группы Н = БоСгг) на кососимметрических матрицах сопряжением - классический результат. Утверждение доказано.
3. Утверждение 3. Полную систему инвариантов алгебры Ли
б1 (а, 1В) О- С + 1^а) образуют функции
° 1,1,... 1, 2, г 2, к,к,... к 4 ик Л
где £.-,= [£• ] + &, Ь-°;1 , ^.^-гг-к.
Доказательство. Легко установить, что функции являются инвариантами, воспользовавшись утверждением 1.2.
В самом деле, поскольку А - ке = ~ Ь-с. ,
{&11- ^ ,х1}=ь -
» * * с, гг. о ^ ^ - - - •
' X > X - базис
Равенство нулю имеет место, тан как детерминант (6 ) системы векторов равен нулю, если два вектора в ней совпадают.
Итак, функции 6 являются инвариантами алгебры Ли
£ 01,112)0- ^ » предъявим теперь максимальный функционально независимый набор инвариантов.

Рекомендуемые диссертации данного раздела

Колюцкий, Григорий Аркадьевич
2010
Быков, Владимир Владиславович
1998