Теория Литлвуда-Пэли: некоторые новые результаты

  • автор:
  • специальность ВАК РФ: 01.01.01
  • научная степень: Кандидатская
  • год, место защиты: 2010, Санкт-Петербург
  • количество страниц: 72 с.
  • бесплатно скачать автореферат
  • стоимость: 240,00 руб.
  • нашли дешевле: сделаем скидку
  • формат: PDF + TXT (текстовый слой)
pdftxt

действует скидка от количества
2 диссертации по 223 руб.
3, 4 диссертации по 216 руб.
5, 6 диссертаций по 204 руб.
7 и более диссертаций по 192 руб.
Титульный лист Теория Литлвуда-Пэли: некоторые новые результаты
Оглавление Теория Литлвуда-Пэли: некоторые новые результаты
Содержание Теория Литлвуда-Пэли: некоторые новые результаты
Вы всегда можете написать нам и мы предоставим оригиналы страниц диссертации для ознакомления
1 Общие сведения
1.1 Сингулярные интегралы и классы Харди
1.2 Пространства Н?(К х • • ■ х К)
1.3 Ограниченность операторов на Я£(К х • • • х К)
1.4 Теорема о Я-замкнутооти
1.5 Утверждения о классах Харди
2 Неравенство Литлвуда—Пэли
2.1 Формулировка результата и история вопроса
2.2 Вспомогательные операторы 5 и
2.3 Ограниченность операторов 5 и Я
2.4 Условия гладкости
2.5 Замечания по поводу п-мерного случая
3 Функция Од
3.1 Формулировка результата
3.2 Обсуждение и следствия
3.3 Доказательство теоремы: оператор Т*
3.4 Доказательство теоремы: оператор Т
Литература

“Теория Литлвуда-Пэли” — несколько размытый термин. Под ним обычно понимают многочисленные и, на первый взгляд, разнородные неравенства в анализе Фурье, выражающие принадлежность функции лебеговым классам или классам Харди Нр в терминах оценок на Тр-нормы различных “квадратичных” выражений. Не претендуя на то, чтобы дать исчерпывающий список, приведем несколько таких неравенств.
Пусть / £ ТР(К), 1 < р < оо. Определим квадратичное выражение Ь(/) по формуле
£(/)(*)=>( Е1ма/12)1/2>
где Т> — двоичное разложение прямой, то есть набор всех отрезков вида [2к,2кп] и [—2*+1, —2*], А: £ 2, а Мд/ = (/хд)У — соответствующие мультипликаторы Фурье. Необходимо заметить, что здесь и далее мы пользуемся следующим определением преобразования Фурье:
т = [ / € 5(к").

Здесь 5(МП) — класс Шварца, и наше определение распространяется на пространство медленно растущих распределений 5'(ЕП) (а значит и на все пространства 1У'(КП), 1 < р < оо) известным способом (см., например, [21, §1.3]). Классическая теорема Литлвуда-Пэли утверждает (см. [4, §1У.5]), что верна следующая двусторонняя оценка:
РШьнш) х НЛи»(К)- (!)
Далее, пусть / € //(К"), 1 < р < оо. Рассмотрим квадратичную ^-функцию Литлвуда-Пэли, которая определяется выражением
9(Л(.Х) = ^^1(Х,У)2У^ ,


где / — продолжение Пуассона функции /, а градиент берется по всем переменным, в том числе и по у. Известно (см. [4, §1У. 1]), что
||э(/)||ы>(К") ~ ||Л|п>(Я»)-
Если дифференцировать только по х или только по у, получим квадратичные функции
9у(Л(х) = у<1у^ и
д-М){х) = (_^|У*/(ас,у)2 ■
Для них также выполняются двусторонние оценки
х И/Цдн«") и НйЛЛНычие*) - ИЛ1ы-(ж~)- (2)
Следующей квадратичной функцией, которую мы рассмотрим, будет интеграл площадей Лузина А(/), который определяется по формуле
Аи){х) = (Л ^ 'У}{Ру)^у1~п<И<1у^ ,
где Г(.т) = {(г, у) € Ж"+1 | |£—ж| < у} — конус с вершиной в точке х. Заметим, что в случае ^-функций мы брали интеграл по перпендикулярному лучу, выходящему из точки х, здесь же мы интегрируем по конусу Г(:г); и, таким образом, возникает аналогия с соответствующими способами приближения к граничной точке: с приближением вдоль луча в первом случае и некасательным приближением внутри конуса во втором. Снова верна (см. [4, §УП.З.З]) двусторонняя оценка:
1И(/)||ы>(К’*) — ИЛ|Ь1>(К"), 1 < Р < °о. (3)
Интеграл площадей Лузина довольно эффективно использовался при изучении классов Харди Нр{Ш.п). В [10, стр. 161-167] доказано, что
1И(/)||ы>(К") “ ||/||яр(К"), 0 < р < 1. (4)
Теперь заметим, что У/(г, 1/) = (/* 7РУ){1:), где Ру(1) = Су/{Щ2 + у2)^ — ядро Пуассона. Иногда вместо VРу используют иные свертыватели. Например, мы можем рассмотреть квадратичную функцию
«*(/)(*) = (Лм 1(/*^)(оГру) .
ГЛАВА 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

собираемся доказать, что если у функции С £ Ь1(Е2) П //(К2) спектр сосредоточен в прямоугольнике, лежащем в первой координатной четверти, то С е НДК2) и ||С||Нр < ЦОЦлр.
Без потери общности можем считать, что функция б непрерывна и ограничена. Действительно, функции С и (б)'/ совпадают как распределения, а (С)у — ограниченная и непрерывная функция (ввиду компактности носителя функции С). Таким образом функция Д почти всюду равна некоторой непрерывной и ограниченной функции. Продолжим функцию б в область П:
0(г1,г2) = С(х1+гу1,х2+1у2) = / / Р,п {х - - Д)С(Д,
х х в?
где («1, г2) £ И и Ру(х) = су/{х2 + у2) — ядро Пуассона (здесь с — нормировочная постоянная, обеспечивающая равенство /кРу(х)с1х = 1). Нам нужно проверить, что функция в аналитическая в области П, что она сходится к своим граничным значениям при у = у2) —)• 0 в смысле
медленно растущих распределений и что для нормы ЦСтЦн? выполняется требуемая оценка. Пользуясь тем, что ядро Пуассона Ру(х) является преобразованием Фурье функции е-27Гу^, можем написать, что
= [[ (е21*1' 2"тЫ е2"та«2-2^1Ы)Л(гь Д) С(Д, 12)<П 1(И2.
7 дкз
Здесь преобразование Фурье берется по переменной £ = (£1,62)- Далее, пользуясь формулой [/(х)д{х) = / /(х)д(х), получаем:
С(гь^) = 1^С(С,Ь)е2^е2^ЧЫЬ-
Так как в — непрерывная функция с компактным носителем, а е2,Г1К’-) — (функция, аналитическая по переменной 2: в С2, то функция С — аналитическая в В и сходится к своим граничным значениям. Осталось проверить оценку нормы.
Сначала докажем, что функция С(Д, -)Л(£2) (здесь мы зафиксировали первую переменную и взяли преобразование Фурье по второй переменной) сосредоточена на отрезке J при почти всех Д 6 К. Пусть <р — функция из класса Шварца на К, носитель которой лежит вне отрезка J. Тогда
О = [ б({иЬМ&№2= / е-“ I с(д,-)Л(ДМД)Д2йд
JR ДМ. JR
Вы всегда можете написать нам и мы предоставим оригиналы страниц диссертации для ознакомления

Рекомендуемые диссертации данного раздела