Решение некоторых задач математической физики методами Монте-Карло

1. Нахождение взаимных электростатических ёмкостей

1.1. Постановка задачи

1.1.1. Электростатическая ёмкость

1.2. Краткое описание существующих алгоритмов вычисления

ёмкостей

1.2.1. Аналитические методы нахождения электростатических ёмкостей

1.2.2. Алгоритмы «сопоставления с эталоном»

1.2.3. Алгортмы вычисления погонных ёмкостей

1.2.4. Алгоритмы вычисления трёхмерных ёмкостей

1.3. Решение задачи в случае уединённого проводника

1.3.1. Нахождение ёмкости

1.3.2. Вычисление нормальной производной

1.3.3. Алгоритм вычисления ёмкости

1.3.4. Моделирование переходной плотности

1.3.5. Экспериментальные данные

1.4. Решение задачи в общем случае

1.4.1. Нахождение взаимных ёмкостей

1.4.2. Вычисление нормальной производной

1.4.3. Оценка взаимных ёмкостей «блужданием по сферам»



1.4.4. Оценка взаимных ёмкостей «блужданием по полусферам»

1.4.5. Экспериментальные данные

2. Решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца

2.1. Решение задачи без использования оценок степеней оператора Грина

2.1.1. Алгоритм «блуждания по сферам»

2.1.2. Алгоритм «блуждания по шарам»

2.2. Решение задачи через оценки степеней оператора Грина

2.2.1. Аналитическое продолжение решения

2.3. Вычисление оценок степеней оператора Грина методами Монте-Карло

2.3.1. Метод «блуждания по шарам»

2.3.2. Метод «блуждания по шарам и сферам»

2.3.3. «Блуждание по сферам» с выделением объемного потенциала

2.3.4. Нахождение степеней оператора Грина из определения функции Грина

2.3.5. Экспериментальные данные

3. Оценка первого собственного числа для оператора ЛапласаЮЭ

3.1. Оценка первого собственного числа первой краевой задачи

для оператора Лапласа

3.1.1. Метод Келлога

3.1.2. Вероятностный смысл метода Келлога для оператора Грина

3.2. Способы оценки итераций оператора Грина для функции

Го О')

3.2.1. Использование оценки моментов случайной величины т112



3.2.2. Оценка итераций на основе свойств броуновского движения

3.2.3. Модельная задача

3.3. Экспериментальные данные

4. Практическая реализация алгоритмов

4.1. Особенности реализации параллельных вычислений

4.1.1. Реализация генератора случайных чисел

4.1.2. Особенности реализации с использованием технологии MPI

4.1.3. Особенности реализации вычислений на GPU

4.1.4. Алгоритм суммирования с компенсацией

4.2. Моделирование переходной плотности

4.3. Краткое описание программного комплекса

4.3.1. Взаимодействие вычислительного модуля с оболочкой

4.3.2. Базовый класс вычислительного модуля

Заключение

Литература



где Бк — поверхность к-й плитки;

Хк - центр к-й плитки;

у — точка на поверхности 1-й плитки;

<Рк — потенциал в центре к-й плитки;

<71 (у) - плотность распределения зарядов на 1-й плитке.

Как только расстояние между к-й и /-Й плитками становится достаточно

большим (относительно площади 1-й плитки), интеграл в (1.2.30) сводится

к <#/  х1 — Хк, где XI — центр 1-й плитки, а ф — полный заряд на 1-й плитке.

В методе коллокации первого порядка предполагается что плотность

распределения заряда на поверхности постоянна. Тогда (1.2.30) упрощается

где й/ — площадь 1-й плитки.

Применяя полученную формулу к набору из п плиток, получаем систему линейных уравнений

где Р е Шпхп — матрица потенциалов;

д, <р € М" — векторы заряда и потенциала плиток, а не проводников

Решая систему (1.2.32) можно получить заряды на плитках по заданным на них потенциалам. Для вычисления Дго столбца матрицы взаимных ёмкостей нужно решить систему (1.2.32) для д, устанавливая <рк равным единице, если к-я плитка принадлежит ]-му проводнику и нулю в противном случае. Тогда Сц вычисляется как сумма зарядов на всех плитках г-го

(1.2.31)

Рд = <р

(1.2.32)

(которые были указаны в постановке).