заказ пустой
скидки от количества!1 Вспомогательные средства
1.1 Некоторые сведения о больших уклонениях
1.2 Некоторые сведения из теории экстремальных задач
1.3 Некоторые сведения из теории неявных операторов
2 Большие уклонения невырожденных функционалов Мизеса и [/-статистик
2.1 Вывод уравнения Эйлера-Лагранжа
2.2 Анализ уравнения Эйлера-Лагранжа
2.3 Вычисление К(0,а)
2.4 Большие уклонения ?7-статистик
2.5 Примеры
3 Большие уклонения вырожденных функционалов Мизеса и П-статистик
3.1 Постановка задачи и формулировка результата
3.2 Вывод уравнения Эйлера-Лагранжа
3.3 Анализ уравнения Эйлера-Лагранжа
3.4 Примеры
Литература
В современной теории вероятностей и математической статистике важную роль играют функционалы Мизеса, предложенные фон Мизесом в [51] и [/-статистики, введенные Хеффдингом в [42]. Особый интерес представляет тоУфа1<Д| в виде функционалов Мизеса и [/-статистик можно представить многие оценки и статистики, использующиеся в современной математической статистике. Количество работ, посвященных свойствам этих тесно связанных между собой объектов, постоянно растет. Помимо многочисленных журнальных публикаций свойствам [/-статистик посвящено уже несколько монографий, а именно работы Серфлинга [53], Ли [49], Ко-ролюка и Боровских [14] и Боровских [6].
Прежде всего введем необходимые обозначения. При этом в терминологии мы будем следовать монографии [14].
Пусть Хх,
с, = {сгг‘ Е (0.0.1)
1<г1<...<гт<п
где Ф : Хт —> п - симметричная относительно любой перестановки га переменных функция.
Функционал Мизеса V/ определяется с помощью формулы
V, = ГГ” £ ... Е -Кіт)-
(0.0.2)
І—1 І-т
Функция Ф называется ядром {/-статистики или функционала Мизеса, натуральное число т - степенью {/-статистики (или функционала Мизеса).
Пример 0.0.1. Выборочную дисперсию для выборки Х1
можно записать в виде {/-статистики
Пример 0.0.2. Рассмотрим среднюю разность Джини, предложенную в [40], см. также [12, стр. 74-7-5]. Эта статистика определяется как
Поэтому средняя разность Джини является {/-статистикой с ядром
Пример 0.0.3. Для проверки симметрии одномерной выборки Хі
ип = ((%)-1 Е ЩХьХ;)
1 <л<]<п
с. = (</)' Е х,-х,.
(0.0.3)
1 <Л<)<п
После такой формализации задачи теоремой 1.2.1 нам гарантировано существование таких не равных нулю одновременно множителей Лагранжа Ao,Ai, А2, что функция /(£), доставляющая локальный экстремум в задаче (2.1.11) - (2.1.14), удовлетворяет соотношению
Cf(f, A0,Ai,A2) = 0, (2.1.15)
£(/Д 0Д1Д2) = )9о(Л + Ai g{f) + А 25гг(/),
а также условиям ’’дополняющей нежесткости”
Аш(/) = 0, (2.1.16)
Ш!) = 0. (2.1.17)
Вычисляя вариацию (2.1.15) в явном виде, получаем уравнение
С (Ао(1п / Д1) + 1) + Аг+
г т ~
+Х1т #(sb
справедливое при любой пробной функции h € WpifO, 1]. Согласно ’’основной лемме” вариационного исчисления (см., например, [25,
стр. 35]) отсюда следует, что при п.в. -S'i
л л » m л
Ао ln(/(s 1) + 1) + А2 + Aim / Ф(«1,sTO) П /(л) ds2...dsm = Ci,
(2.1.18)
где Ci - некоторая константа. Можно считать, что (2.1.18) справедливо при всех «1, так как при этом допущении значение функционала (2.1.11) не изменится. Получившееся уравнение Эйлера - Лагранжа следует рассматривать совместно с вытекающими из условий (2.1.16) и (2.1.17) нормировками: