Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода

  • Автор:
  • Специальность ВАК РФ: 05.13.18
  • Научная степень: Кандидатская
  • Год защиты: 2004
  • Место защиты: Ставрополь
  • Количество страниц: 167 с.
  • бесплатно скачать автореферат
  • Стоимость: 230 руб.
Титульный лист Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода
Оглавление Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода
Содержание Об итерационных методах решения операторных уравнений второго рода
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Обзор литературы.
1. Метод последовательных приближений.
2. Метод ускорения сходимости монотонных приближений к решению
уравнения вида х Ах
3. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения линейных операторных уравнений вида х Лх , где оператор Л матрица л го порядка
4. Метод однопараметрического итеративного агрегирования решения нелинейных операторных уравнений вида хГх , где Гх нелинейный оператор
ГЛАВА 2. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу и собственному вектору линейного оператора.
5. Построение приближений, сходящихся к спектральному радиусу линейного оператора
6. Построение приближений, сходящихся к собственному вектору линейного оператора
ГЛАВА 3. Развитие методов построения приближений, сходящихся к
точному решению операторного уравнения вида х Ах
7. Об одном итерационном методе решения системы линейных алгебраических уравнений вида Ах с квадратной матрицей А, в случае,
когда спектральный радиус матрицы А , больше чем единица.
8. Получение двусторонних оценок точного решения х операторного уравнения вида хЛх в случае, когда спектральный радиус оператора А не обязательно меньше единицы.
9. О некоторых подходах к уточнению границ решения операторных уравнений вида х Ах в случае, когда спектральный радиус операто ра А не обязательно меньше единицы.
. Гибрид методов ускорения сходимости монотонных приближений к решению х уравнения вида х Лх и однопараметрического итера
тивного агрегирования.
. Об одном варианте метода ускорения сходимости монотонных приближений к решению уравнения вида х Ах
. Об одном варианте метода Зейделя
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
ЛИТЕРАТУРА


Предложены варианты методов, позволяющие строить приближения к решению уравнений вида 1, обладающие высокой скоростью сходимости. Разработано программное обеспечение на языке программирования , реализующее предложенные итерационные методы. Достоверность результатов работы вытекает из математической строгости постановки и решения исследуемых задач, а также из совпадения ряда полученных результатов в частных случаях с известными в литературе. Практическая значимость работы заключается в возможности применения полученных методов решения уравнения 1 при решении конкретных задач математики и экономики. Отдельные результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов и подготовке учебных пособий. Зейделя, позволяющий строить приближения, сходящиеся к точному решению х уравнения I с помощью метода ускорения сходимости. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключения, списка литературы и приложения. В ней принята сквозная нумерация параграфов, для утверждений и формул введена двойная нумерация, включающая номер параграфа и порядковый номер утверждения или формулы в нем. Диссертация изложена на 7 страницах, список использованной литературы содержит наименования. ГЛАВА 1. Одним из наиболее известных итерационных методов решения систем линейных уравнений является метод последовательных приближений 4 метод простой итерации. Вх 1. Вхт, т 0,1,2,. В матрица порядка ихи, свободный вектор, ел, х неизвестный вектор, хЕЯ х0 начальное приближение. Метод 1. Теорелш 1. Если норма матрицы В меньше единицы В 1, то система уравнений 1. Г, имеет единственное решение и итерационный процесс 1. I оЦИГ тт 0,1,2,. ССО. Ь1 В . Можно гарантировать, что величина 5, если Вт е, т. И в гл называются эквивалентными. Таким образом, если условие изложенной выше теоремы выполнено для нормы . Любые две нормы в конечномерном пространстве являются эквивалентными. Определение 1. А, собственные значения матрицы й А А, а А матрица, сопряженная к матрице А т. При решении уравнения вида 1. Поясним как найти т количество итераций, обеспечи
вающих, для получения искомого решения системы 1. С ТОЧНОСТЬЮ ДО . При известных условиях к решению уравнения 1. ЭВМ. Недостатками метода последовательных приближений является, вообще говоря, недостаточно высокая скорость последовательных приближений 1. Я, близко к единице. Рассмотрим соответствующие примеры, когда по заданной точности е определяется количество приближений к вектору являющимся решением данной системы уравнений. В примере 1 выполняются все три условия а,б,в. Пример 1. Рассмотрим систему уравнений вида 1. Заметим, что значение точного решения х
4. В гВ 0 Используем метод 1. В данном примере т . Рассмотрим пример в котором не выполняется условие а. Пример 2. Рассмотрим систему уравнений вида 1. В 0. Заметим, что значение точного решения х
6. Используем метод 1. В данном примере т2. Рассмотрим пример, в котором выполняется лишь условие в. Пример 3. Рассмотрим систему уравнений вида 1. Используем метод 1. I . Определим 0. В данном примере т 7. Проиллюстрируем пример у которого не выполняется ни одно из данных условий а,б,в. Пример 4. Рассмотрим систему уравнений вида 1. В 0. Заметим, что значение точного решения х
9. Используем здесь метод 1. ТОЧНОСТИ . Отметим, что проиллюстрированные выше примеры, были реализованы при помощи разработанной автором программы на языке программирования . Из приведенных примеров видно, что для одного и того же , номер приближений, начиная с которого выполняется неравенство, бывает различным, а это говорит о том, что для достижения одной и той же точности для приближения к искомому вектору решения заданной системы уравнений приходится совершать различное количество приближений. В этой связи уместно ввести характеристику, которую можно назвать скоростью сходимости метода последовательных приближений. Эта скорость определяется числом тех итераций, которые необходимо совершить для того, чтобы соответствующие приближения x отличались от точного решения д меньше чем на . Оказывается , что эта скорость определяется величиной спектрального радиуса гВ матрицы В.

Рекомендуемые диссертации данного раздела