Дискретное преобразование Фурье неэквидистантных временных рядов

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 
1. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 
1.1 Алгоритмы преобразования Фурье дискретной последовательности данных 
1.2 Методы повышения эффективности преобразования Фурье 
1.3 Характерные параметры алгоритмов ДПФ 
Выводы  
2. ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 
2.1 Математическое описание неэквидистантных временных рядов 
2.2 Дискретное преобразование Фурье неэквидистантных временных рядов 
2.3 Дескрипторный метод вычисления ДПФ 
2.4 Дескрипторный метод вычисления БПФ 
2.4.1 Дескрипторный метод по алгоритму КулиТьюки 
2.4.2 Дескрипторный метод по алгоритму Винограда 
2.5 Вычислительная сложность алгоритмов 
Выводы 
3. СИСТЕМА ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАСЧЕТА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ     .
3.1 Структура программного комплекса 
3.2 Моделирование входных воздействий 
3.3 Моделирование потока с нерегулярной дискретизацией 
3.4 Параметры расчета ДПФ 
4. АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК АЛГОРИТМОВ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ 
4.1 Погрешность вычисления ДПФ неравномерно дискретизированной последовательности
4.2 Анализ времени вычисления ДПФ неравномерно 3 дискретизированной последовательности
4.3 Погрешность при сокращении разрядности входного сигнала 
4.4 Погрешность ошибочной адресации 
4.5 Анализ времени вычисления ДПФ равномерно дискретизированной последовательности 
4.6 Анализ времени вычисления ДПФ последовательностей различной длины 
Выводы 
5. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ВАРИАБЕЛЬНОСТИ СЕРДЕЧНОГО РИТМА 
5.1 Общие положения 
5.2 Оценка спектральной мощности ритмограмм 
6. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ПРОЕКТИРОВАНИЮ ДЕСКРИПТОРНЫХ АЛГОРИТМОВ ДПФ 
6.1 Общий порядок проектирования 
6.2 Рекомендации по проведению занятий по изучению дескрипторных алгоритмов ДПФ 
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ


Во второй главе приводятся аналитические выражения для расчета ДПФ НВР, рассматривается новый - дескрипторный - способ вычисления ДПФ, базирующийся как на классическом алгоритме вычислений, так и на быстрых методах - БПФ. Приведены структурные схемы вычислителей и оценки алгоритмической сложности. Третья глава посвящена описанию системы имитационного моделирования расчета ДПФ различных видов случайных сигналов с различными значениями параметров расчета. Данная система может быть использована для оценки точности как классических, так дескрипторных методов расчета ДПФ, а так же спектральной обработки реальных массивов данных. В четвертой главе приводятся результаты имитационного моделирования расчета ДПФ случайных и псевдослучайных сигналов, анализ критериев для выбора оптимальных значений параметров расчета. Пятая глава содержит результаты спектрального анализа данных о вариабельности сердечного ритма человека, представляющих собой нестационарный процесс с неравномерной дискретизацией. В шестой главе приведен общий порядок проектирования дескрипторных алгоритмов ДПФ и рекомендации по проведению практических занятий. В заключении приводятся основные результаты и выводы, полученные в работе. Приложения содержат описание пакета прикладных программ имитационного моделирования расчета ДПФ и графические результаты расчетов. Существует множество способов классификации методов расчета дискретного преобразования Фурье /5,7,,/: по способам факторизации матрицы преобразования, по способам аппаратной реализации вычислений и прочие. Предлагается обобщить имеющийся материал с целью выявления путей дальнейшего развития данного направления. На рисунке 1. Фурье над дискретной последовательностью данных. Прямой метод вычисления ДПФ. Любая периодическая последовательность х(п)=х(п+тМ) с периодом N может быть разложена в ряд Фурье /,/, т. Х(к)=? Г" . Данное выражение называют дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) //. Полученный дискретизированный спектр Х(к) соответствует дискретизированному сигналу х(п), повторяющемуся с периодом N. Рисунок 1. ОЫ-1, т = 0Ы~,п> т. Косвенные методы вычисления ДПФ. К данной группе алгоритмов можно отнести ДПФ на основе линейной ЛЧМ-фильтрации //. Х(к) = ХхМИГ'* = (1. И(п) = 1У-"г'2 (1. Таким образом, подав на вход фильтра сигнал у(п) = х(п)}Ущ1/1, выбрав отсчеты выходной последовательности с номерами п=0,. М-1и умножив их на коэффициенты Ук 7 2 ехр(-]7гМ), получим У-точечное ДПФ исходной последовательности х(п). В литературе // можно найти описание косвенного вычисления ДПФ на основе время-импульсной модуляции. Основой метода служит тот факт, что при малых значениях индекса модуляции амплитудная (время-импульсная) модуляция равнозначна фазовой (а значит и частотной), а спектр модулированного сигнала представляет собой сумму сдвинутых спектров дельта импульсов. Классический алгоритм - прямой точный метод вычисления дискретного преобразования Фурье в поле комплексных чисел, соответствующий формуле (1. Быстрые алгоритмы — представляют собой модификации ДПФ, призванные снизить алгоритмическую сложность вычисления. Основная идея БПФ состоит в том, чтобы исходную последовательность разбить на более короткие последовательности, ДПФ которых могут быть скомбинированы таким образом, чтобы объединение их дало исходное А-точечное ДПФ. Алгоритм Винограда. ДПФ путем теоретикочисловых преобразований /9,/. Развитием указанных алгоритмов являются полиномиальное преобразование Нуссбаумера и гибридный алгоритм Рида-Труонга /,-/. Точные алгоритмы - алгоритмы, в которых теоретически возможно достижение нулевой погрешности вычислений. Если исключить ошибки систем, связанные с аппаратными ограничениями, то большинство существующих алгоритмов являются точными. Приближенные алгоритмы - аппроксимативные, методическая погрешность которых не может быть сведена к нулю. Так, например, известны методы // спектрального анализа сигналов на основе аппроксимации функцией синуса малых аргументов и на основе аппроксимации корреляционной функции сигнала ортогональными полиномами //.